Question

12．團購已成為時下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高效的消費方式，不少商家同時加入多家團購網(wǎng)，現(xiàn)恰有三個團購網(wǎng)站在A市開展了團購業(yè)務(wù)，A市某調(diào)查公司為調(diào)查這三家團購網(wǎng)站在本市的開展情況，從本市已加入了團購網(wǎng)站的商家中隨機地抽取了50家進行調(diào)查，他們加入這三家團購網(wǎng)站的情況如下圖所示．
（Ⅰ）從所調(diào)查的50家商家中任選兩家，求他們加入團購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率；
（Ⅱ）從所調(diào)查的50家商家中任選兩家，用ξ表示這兩家商家參加的團購網(wǎng)站數(shù)量之差的絕對值，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）將頻率視為概率，現(xiàn)從A市隨機抽取3家已加入團購網(wǎng)站的商家，記其中恰好加入了兩個團購網(wǎng)站的商家數(shù)為η，試求事件“η≥2”的概率．

Answer 1

分析 （I）設(shè)“從所調(diào)查的50家商家中任選兩家，他們加入團購網(wǎng)站的數(shù)量不相等”為事件A，則$\overline{A}$表示事件“從所調(diào)查的50家商家中任選兩家，他們加入團購網(wǎng)站的數(shù)量相等”，則P（A）=1-P$（\overline{A}）$．
（II）ξ的取值為0，1，2．P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{5}^{2}+{∁}_{25}^{2}+{∁}_{20}^{2}}{{∁}_{50}^{2}}$，P（X=1）=$\frac{{∁}_{5}^{1}{∁}_{25}^{1}+{∁}_{25}^{1}{∁}_{20}^{1}}{{∁}_{50}^{2}}$，P（X=2）=$\frac{{∁}_{5}^{1}{∁}_{20}^{1}}{{∁}_{50}^{2}}$．即可得出ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（III）所調(diào)查的50家商家中加入兩個團購網(wǎng)站的商家有25家，將頻率視為概率，則從A市任取一家加入團購網(wǎng)站的商家，他同時加入了兩個團購網(wǎng)站的概率P=$\frac{25}{50}$=$\frac{1}{2}$，可得η～B$（3，\frac{1}{2}）$，事件“η≥2”的概率P（η≥2）=P（η=2）+P（η=3），即可得出．

解答 解：（I）設(shè)“從所調(diào)查的50家商家中任選兩家，他們加入團購網(wǎng)站的數(shù)量不相等”為事件A，則$\overline{A}$表示事件“從所調(diào)查的50家商家中任選兩家，他們加入團購網(wǎng)站的數(shù)量相等”，則P（A）=1-P$（\overline{A}）$=1-$\frac{{∁}_{5}^{2}+{∁}_{25}^{2}+{∁}_{20}^{2}}{{∁}_{50}^{2}}$=$\frac{29}{49}$．
（II）ξ的取值為0，1，2．P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{5}^{2}+{∁}_{25}^{2}+{∁}_{20}^{2}}{{∁}_{50}^{2}}$=$\frac{20}{49}$，P（X=1）=$\frac{{∁}_{5}^{1}{∁}_{25}^{1}+{∁}_{25}^{1}{∁}_{20}^{1}}{{∁}_{50}^{2}}$=$\frac{25}{49}$，P（X=2）=$\frac{{∁}_{5}^{1}{∁}_{20}^{1}}{{∁}_{50}^{2}}$=$\frac{4}{49}$．
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{20}{49}$	$\frac{25}{49}$	$\frac{4}{49}$

E（X）=0×$\frac{20}{49}$+1×$\frac{25}{49}$+2×$\frac{4}{49}$=$\frac{33}{49}$．
（III）所調(diào)查的50家商家中加入兩個團購網(wǎng)站的商家有25家，將頻率視為概率，則從A市任取一家加入團購網(wǎng)站的商家，他同時加入了兩個團購網(wǎng)站的概率P=$\frac{25}{50}$=$\frac{1}{2}$，可得η～B$（3，\frac{1}{2}）$，事件“η≥2”的概率
P（η≥2）=P（η=2）+P（η=3）=${∁}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（1-\frac{1}{2}）$+${∁}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了對立與互相獨立事件概率計算公式、二項分布列與數(shù)學(xué)期望、組合計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．