Question

13．已知函數(shù)f（x）=kx（$\frac{1}{e}$≤x≤e²），與函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{e}$）${\;}^{\frac{x}{2}}}$，若f（x）與g（x）的圖象上分別存在點(diǎn)M，N，使得MN關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{1}{e}$，e]
• B． [-$\frac{2}{e}$，2e]
• C． $（-\frac{2}{e}，2e）$
• D． $[-\frac{3}{e}，3e]$

Answer 1

分析 求出g（x）的反函數(shù)h（x），則g（x）與f（x）的圖象在[$\frac{1}{e}$，e²]上有交點(diǎn)，借助函數(shù)圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出k的范圍．

解答 解：g（x）=（$\frac{1}{e}$）${\;}^{\frac{x}{2}}$=（e${\;}^{-\frac{1}{2}}$）^x關(guān)于直線y=x的對(duì)稱函數(shù)為h（x）=log${\;}_{{e}^{-\frac{1}{2}}}$x=-2lnx，
則y=h（x）與y=f（x）=kx在[$\frac{1}{e}$，e²]上有交點(diǎn)，
作出y=h（x）與y=f（x）在[$\frac{1}{e}$，e²]上的函數(shù)圖象如圖所示：

設(shè)y=k₁x經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{1}{e}$，2），則k₁=2e，
設(shè)y=k₂x與h（x）=-2lnx相切，切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{{x}_{0}}={k}_{2}}\\{{k}_{2}{x}_{0}=-2ln{x}_{0}}\end{array}\right.$，解得x₀=e，k₂=-$\frac{2}{e}$．
∴$-\frac{2}{e}$≤k≤2e．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，將對(duì)稱問(wèn)題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．