Question

【題目】已知數列、滿足，，其中，則稱為的“生成數列”．

（1）若數列的“生成數列”是，求；

（2）若為偶數，且的“生成數列”是，證明：的“生成數列”是；

（3）若為奇數，且的“生成數列”是，的“生成數列”是，…，依次將數列，，，…的第項取出，構成數列．

探究：數列是否為等比數列，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

試題（1）解：，，同理，；（2）只需按照定義證明即可，證明：，∵為偶數，將上述個等式中第2，4，6， ，這個式子兩邊取倒數，再將這個式子相乘得： ，因為，，所以根據“生成數列”的定義，數列是數列的“生成數列”；（3）因為，所以．

所以欲證成等差數列，只需證明成等差數列即可．

試題解析：（1）解：，

同理，． 4分

（寫對一個得1分，總分4分）

（2）證明：

7分

∵為偶數，將上述個等式中第2，4，6， ，這個式子兩邊取倒數，再將這個式子相乘得：

∴9分

因為，

所以根據“生成數列”的定義，數列是數列的“生成數列”． 10分

（3）證明：因為，

所以．

所以欲證成等差數列，只需證明成等差數列即可． 12分

對于數列及其“生成數列”

∵為奇數，將上述個等式中第2，4，6， ，這個式子兩邊取倒數，再將這個式子相乘得：

∴

因為，

數列的“生成數列”為，因為

所以成對比數列．

同理可證，也成等比數列．即是等比數列．

所以成等差數列． 16分