Question

已知函數(shù)f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求f（x）．
（2）求f（x）單調(diào)區(qū)間及其對(duì)稱中心．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡先求解析式f（x）=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，根據(jù)已知求得ω的值即可；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，令2x-

π

6

=kπ，求得f（x）的對(duì)稱中心．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）=

3

2

sin2ωx+

1-cos2ωx

2

=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，
∵T=π=

2π

2ω

，可解得ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，求得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

3

，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

3

]，k∈z．
令2x-

π

6

=kπ，求得x=

kπ

2

+

π

12

，故f（x）的對(duì)稱中心是（

kπ

2

+

π

12

，

1

2

），k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．