Question

12．求4×6ⁿ+5^n-1被20除后的余數(shù)．

Answer 1

分析 利用二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式，4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9=4×（6ⁿ-1）+5×（5ⁿ-1）=4×[（5+1）ⁿ-1]+5×[（4+1）ⁿ-1]，問(wèn)題得以解決

解答 解：∵4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9
=4×（6ⁿ-1）+5×（5ⁿ-1）
=4×[（5+1）ⁿ-1]+5×[（4+1）ⁿ-1]
=4×（C_n⁰•5⁰+C_n¹•5¹+…+C_nⁿ•5ⁿ-1）+5×（C_n⁰•4⁰+C_n¹•4¹+…+C_nⁿ•4ⁿ-1）
=4×5×（C_n¹+C_n²•5+…+C_nⁿ•5^n-1）+5×4×（C_n¹+C_n²•4+…+C_nⁿ•4^n-1）
=20×[（C_n¹+C_n²•5+…+C_nⁿ•5^n-1）+（C_n¹+C_n²•4+…+C_nⁿ•4^n-1）]
∴4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9能被20整除，
故4×6ⁿ+5^n-1被20除后的余數(shù)為9．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，利用展開(kāi)式求證數(shù)的整除的問(wèn)題，屬于中檔題