Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=7，a₈+a₄=26，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n=

1

an2-1

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公差即可求a_n及S_n；
（Ⅱ）求出b_n的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，因?yàn)閍₃=7，a₈+a₄=26，所以有

a1+2d=7 2a1+10d=26

，解得a₁=3，d=2，
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1；S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，所以b_n=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
所以數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

，
即數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

n

4(n+1)

．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的計(jì)算，以及利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和．