Question

某工廠修建一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋蓄水池，其容積為1200立方米，深度為3米．池底每平方米的造價(jià)為15元，池壁每平方米的造價(jià)為12元．設(shè)池底長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x米．
（1）求底面積，并用含x的表達(dá)式表示池壁面積；
（2）怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）水池的底面積為S₁，池壁面積為S₂，根據(jù)池底長(zhǎng)方形長(zhǎng)為x米，容積為1200立方米，深度為3米，先后計(jì)算出底面面積，底面寬，進(jìn)而得到池壁面積的表達(dá)式．
（2）由（1）中池壁面積和底面面積，結(jié)合池底每平方米的造價(jià)為15元，池壁每平方米的造價(jià)為12元易構(gòu)造出總造價(jià)的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式，即可得到當(dāng)x為何值時(shí)，水池的總造價(jià)最低．

解答： 解：（1）設(shè)水池的底面積為S₁，池壁面積為S₂，
則有S₁=

1200

3

=400（平方米），
可知，池底長(zhǎng)方形寬為

400

x

米，則S₂=6x+6×

400

x

．…（6分）
（2）設(shè)總造價(jià)為y，則y=15×400+12×（6x+6×

400

x

）≥6000+24×

6x×6× 400 x

=8880
當(dāng)且僅當(dāng)6x=6×

400

x

，即x=20時(shí)取等號(hào)，
所以x=20時(shí)，總造價(jià)最低為8880元．
答：x=20時(shí)，總造價(jià)最低為8880元．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件，分析數(shù)量關(guān)系后，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)模型，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，是解答本題的關(guān)鍵．