Question

空間四邊形的四條邊長度相等，則順次連接這個四邊形各邊中點所得的圖形是（　�。�

A．矩形

B．菱形

C．正方形

D．等腰梯形

Answer 1

分析：作出空間四邊形ABCD如圖，設四邊形EFGH是順次連接各邊中點而得的四邊形，利用三角形中位線定理可證出四邊形EFGH是平行四邊形．再由線面垂直的判定與性質，可證出EF、EH互相垂直，從而得到四邊形EFGH是矩形．

解答：解：如圖設空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，E、F、G、H分別是各邊的中點，
四邊形EFGH是順次連接E、F、G、H而得的四邊形
取BD中點M，連接AM、CM、AC、BD
∵EH是△ABD的中位線，∴EH∥BD，且EH=

1

2

BD
同理可得：FG∥BD，且FG=

1

2

BD
∴EH∥FG且EH=FG，可得四邊形EFGH是平行四邊形
∵△ABD中，AB=AD，M為BD中點，∴AM⊥BD
同理可得CM⊥BD，
結合AM、CM是平面ACM內的相交直線，可得BD⊥平面ACM
∵AC?平面ACM，∴BD⊥AC
∵EF∥AC且EH∥BD，∴EF⊥EH
由此可得：四邊形EFGH是矩形
故選：A

點評：本題給出四邊相等的空間四邊形，求順次連接各邊中點所得四邊形的形狀．著重考查了空間垂直、平行位置關系的證明和三角形中位線定理等知識，屬于基礎題．