Question

1．設(shè)a＜0，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（a-1）x-aln x．
（1）若曲線(xiàn)y=f（x）在（2，f（2））處切線(xiàn)的斜率為-1，求a的值；
（2）當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求a的值；
（2）當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

解答 解：（1）$f'（x）=x+a-1-\frac{a}{x}$…（2分）
∵f'（2）=-1，∴$2+a-1-\frac{a}{2}=-1$，∴a=-4…（2分）
（2）由（1）知，$f'（x）=x+a-1-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}+（a-1）x-a}}{x}=\frac{（x+a）•（x-1）}{x}$…（1分）
定義域?yàn)椋?，+∞）∵-1＜a＜0，∴0＜-a＜1…（1分）
令f'（x）=0則 x=-a或x=1…（1分）

x	（0，-a）	-a	（-a，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

…（3分）∴f（x）的極大值點(diǎn)為x=-a，極小值點(diǎn)為x=1…（2分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題．