Question

7．已知拋物線C₁：x²=2py（p＞0），點A（p，$\frac{p}{2}$）到拋物線C₁的準線的距離為2．
（Ⅰ）求拋物線C₁的方程；
（Ⅱ）過點A作圓C₂：x²+（y-a）²=1的兩條切線，分別交拋物線于M，N兩點，若直線MN的斜率為-1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線定義得：$\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=2$，由此能求出拋物線C₁的方程．
（2）設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k₁，k₂，將l_AM：y-1=k₁（x-2）代入x²=4y，得：x²-4k₁x+8k₁-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、直線與圓相切、點到直線距離公式，能求出結(jié)果．

解答 解：（1）由拋物線定義可得：$\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=2$，∴p=2，
∴拋物線C₁的方程為：x²=4y．…（4分）
（2）設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k₁，k₂，
將l_AM：y-1=k₁（x-2）代入x²=4y，得：
x²-4k₁x+8k₁-4=0，$△=16（{k}_{1}-1）^{2}$＞0，
∴k₁∈R，且k₁≠1，
由韋達定理得：x_M=4k₁-2，同理x_N=4k₂-2，…（6分）
∴${k}_{MN}=\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{M}-{x}_{N}}$=$\frac{1}{4}$（x_M+x_N）=k₁+k₂-1，…（8分）
又∵直線l_MN：y-1=k1（x-2）與圓相切，∴$\frac{|a+2{k}_{1}-1|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$，
整理可得：$3{{k}_{1}}^{2}+4{k}_{1}（a-1）+{a}^{2}-2a=0$，
同理$3{{k}_{2}}^{2}+4{k}_{2}（a-1）+{a}^{2}-2a=0$，…（10分）
∴k₁，k₂是方程3k²+4k（a-1）+a²-2a=0的兩個根，…（11分）
∴k₁+k₂=-$\frac{4（a-1）}{3}$，代入k_MN=k₁+k₂-1=-1，
解得a=1．…（12分）

點評 本題考查拋物線方程的求法，考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、直線與圓相切、點到直線距離公式的合理運用．