Question

11．拋物線x²=2y，直線x-y-1=0都與動(dòng)圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，則動(dòng)圓C的面積最小值為$\frac{π}{32}$．

Answer 1

分析 設(shè)出直線的平行線方程，利用直線與拋物線相切求出直線方程，利用平行線之間的距離為所求圓的直徑，即可求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)與直線x-y-1=0平行的準(zhǔn)線方程為：x-y+b=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2y}\\{x-y+b=0}\end{array}\right.$，可得x²-2x-2b=0，平行線與拋物線相切，可得△=4+8b=0，解得b=-$\frac{1}{2}$，
平行線方程為：x-y-$\frac{1}{4}$=0．
兩條平行線之間的距離為：$\frac{|1-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
所求動(dòng)圓的半徑的最小值為：$\frac{\sqrt{2}}{8}$．
動(dòng)圓C的面積最小值為：$（\frac{\sqrt{2}}{8}）^{2}π$=$\frac{π}{32}$．
故答案為：$\frac{π}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓與直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．