Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=$\frac{m}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對(duì)一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對(duì)一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＜$\frac{2x}{e}$-$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問(wèn)題可化為$m≤2lnx+x+\frac{3}{x}$對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，令$h（x）=2lnx+x+\frac{3}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而求出m的范圍即可；
（Ⅲ）問(wèn)題等價(jià)于$\frac{lnx}{x}＜\frac{2}{e}-\frac{x}{e^x}$，即證$f（x）＜\frac{2}{e}-\frac{x}{e^x}$，令$φ（x）=\frac{2}{e}-\frac{x}{e^x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{lnx}{x}$，得$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$
由f'（x）＞0，得0＜x＜e
∴f（x）的遞增區(qū)間是（0，e），遞減區(qū)間是（e，+∞）…（4分）
（Ⅱ）對(duì)一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
可化為$m≤2lnx+x+\frac{3}{x}$對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立
令$h（x）=2lnx+x+\frac{3}{x}$，$h'（x）＞0=\frac{2}{x}+1-\frac{3}{x^2}=\frac{{{x^2}+2x-3}}{x^2}=\frac{（x+3）（x-1）}{x^2}，（x＞0）$
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)h'（x）＜0，即h（x）在（0，1）遞減
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)h'（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）遞增
∴h（x）_min=h（1）=4，
∴m≤4，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，4]…（8分）
（Ⅲ）證明：$lnx＜\frac{2x}{e}-\frac{x^2}{e^x}$等價(jià)于$\frac{lnx}{x}＜\frac{2}{e}-\frac{x}{e^x}$，即證$f（x）＜\frac{2}{e}-\frac{x}{e^x}$
由（Ⅰ）知$f（x）≤f（e）=\frac{1}{e}$，（當(dāng)x=e時(shí)取等號(hào)）
令$φ（x）=\frac{2}{e}-\frac{x}{e^x}$，則$φ'（x）=\frac{x-1}{e^x}$，
易知φ（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增
∴$φ（x）≥φ（1）=\frac{1}{e}$（當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）
∴f（x）＜φ（x）對(duì)一切x∈（0，+∞）都成立
則對(duì)一切x∈（0，+∞），都有$lnx＜\frac{2x}{e}-\frac{x^2}{e^x}$成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．