1.在集合{1,2,…,50}的子集S中,任意兩個元素的平方和不是7的倍數(shù),求|S|的最大值.

分析 此題表面是對子集的考察,但更是對數(shù)技能的考察,我們需要對數(shù)的平方計(jì)算,再除以7求余數(shù),觀察規(guī)律,進(jìn)而探索思路,得出結(jié)果.考慮1-7的平方對7取余數(shù),依次為1,4,2,2,4,1,0,其后每7個數(shù)的平方對7取余數(shù)均為這列數(shù);由此可以看出兩個元素平方和是7的倍數(shù)只能要求兩個數(shù)的平方本身是7的倍數(shù);所以|S|要取最大值只需要去掉S中7的倍數(shù)就可以了,當(dāng)然也可以有一個7的倍數(shù).

解答 解:因?yàn)?02=0,12=1,22=4,32=9≡2,42=16≡2,52=25≡4,62=36≡1,
所以,任意一個整數(shù)的平方被7除的余數(shù)只可能是 0、1、2、4.
由于 1+1=2,1+2=3,2+2=4,1+4=5,2+4=6,4+4=8≡1,均不是7的倍數(shù),
且0+1=1,0+2=2,0+4=4 也不是7的倍數(shù),
因此,只要取的數(shù)都不是7的倍數(shù),再加上一個7(或其它7的倍數(shù)),就滿足要求.
也就是,|S|的最大值為 50-[$\frac{50}{7}$]+1=44.

點(diǎn)評 此題是探索性題型,需要我們先試探性的尋找規(guī)律,再去思考求解.鍛煉我們的分析問題能力.

練習(xí)冊系列答案
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