Question

10．設(shè)a＞1，解關(guān)于x的不等式：|log_aax²|＜|log_ax|+2．

Answer 1

分析 把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：∵a＞1，關(guān)于x的不等式|log_aax²|＜|log_ax|+2，即|1+2log_ax|＜|log_ax|+2，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{a}x＜-\frac{1}{2}}\\{-1-{2log}_{a}x＜{-log}_{a}x+2}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{≤log}_{a}x＜0}\\{1+{2log}_{a}x＜{-log}_{a}x+2}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{a}x≥0}\\{1+{2log}_{a}x{＜log}_{a}x+2}\end{array}\right.$③．
解①求得-3＜log_ax＜-$\frac{1}{2}$，∴a^-3＜x＜${a}^{-\frac{1}{2}}$，
解②求得-$\frac{1}{2}$≤log_ax＜0，∴${a}^{-\frac{1}{2}}$≤x＜1，
解③求得0≤log_ax＜1，∴1≤x＜a．
綜上可得，原不等式的解集為{x|a^-3＜x＜a}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，對(duì)數(shù)不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的不等式組來(lái)解，屬于中檔題．