Question

【題目】如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中（側(cè)棱與底面垂直的棱柱），AC=BC=1，∠ACB＝90°，AA1＝，D 是A1B1的中點(diǎn)．

（1）求證：C1D⊥平面AA1B1B；

（2）當(dāng)點(diǎn)F 在BB1上的什么位置時(shí)，AB1⊥平面C1DF ？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由是直三棱柱，D是A1B1的中點(diǎn)和題設(shè)條件，得C1D⊥A1B1和AA1⊥C1D，利用線面垂直的判定定理，即可證明；

（2）作交AB1于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE交BB1于點(diǎn)F，連接C1F，則AB1⊥平面C1DF，點(diǎn)F即所求．

（1）∵是直三棱柱，

∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．

又D是A1B1的中點(diǎn)，

∴C1D⊥A1B1．

∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，

∴AA1⊥C1D，

∴C1D⊥平面．

（2）作交AB1于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE交BB1于點(diǎn)F，連接C1F，則AB1⊥平面C1DF，點(diǎn)F即所求．

事實(shí)上，∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，

∴C1D⊥AB1．

又AB1⊥DF，，

∴AB1⊥平面C1DF．

∵AA1=A1B1=，

∴四邊形AA1B1B為正方形．

又D為A1B1的中點(diǎn)，DF⊥AB1，

∴F為BB1的中點(diǎn)，

∴當(dāng)點(diǎn)F為BB1的中點(diǎn)時(shí)，AB1⊥平面C1DF．