Question

已知直線l：y=kx-2與拋物線 C：x²=-2py（p＞0）交于A、B兩點，O為坐標原點 

OA

+

OB

=（-4，-12）．
（1）求直線l和拋物線C的方程；
（2）拋物線上一動點P從A到B運動時，求點P到直線l的最大值，并求此時點P的坐標．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由

y=kx-2 x2=-2py

得，x²+2pkx-4p=0，可得根與系數(shù)的關系、再利用向量坐標運算即可得出；
（2）設與直線AB平行且與拋物線相切于點P（x₀，y₀），由x²=-2y可得y′=-x，利用-x₀=2，可得P（-2，-2）．再利用點到直線的距離公式即可得出點P到直線AB的最大距離．

解答： 解：（1）由

y=kx-2 x2=-2py

得，x²+2pkx-4p=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=-2pk，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-2pk²-4，
∴

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（-2pk，-2pk²-4）=（-4，-12）．
∴

-2pk=-4 -2pk2-4=-12

，
解得

p=1 k=2

．
∴直線l的方程為y=2x-2，拋物線C的方程為x²=-2y．
（2）設與直線AB平行且與拋物線相切于點P（x₀，y₀），
由x²=-2y可得y′=-x，
∴-x₀=2，
解得x₀=-2，∴（-2）²=-2×y₀．解得y₀=-2，
∴P（-2，-2）．
點P到直線AB的最大距離d=

|-2×(-2)+2-2|

5

=

4 5

5

．

點評：本題考查了直線與拋物線相交于相切的位置公式、導數(shù)的幾何意義、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、向量的坐標運算、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．