Question

已知函數(shù)f（x）=|x-3|+|x-a|，g（x）=x³+1，若函數(shù)y=f（g（x））的圖象為軸對(duì)稱圖形，則實(shí)數(shù)a的值可能是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，化簡(jiǎn)y=f（g（x））=|x³+1-3|+|x³+1-a|=|x³-2|+|x³+1-a|，討論a的取值以去絕對(duì)值號(hào)，從而確定對(duì)稱軸的可能取值，再取點(diǎn)檢驗(yàn)，最后再判斷即可．

解答： 解：y=f（g（x））=|x³+1-3|+|x³+1-a|
=|x³-2|+|x³+1-a|，
當(dāng)1-a=-2，即a=3時(shí)，
y=2|x³-2|不是軸對(duì)稱圖形，
當(dāng)1-a＜-2；即a＞3時(shí)，
由y=

1+a-2x3，x＜ 3 2 a-3， 3 2 ≤x≤ 3 a-1 2x3-1-a，x＞ 3 a-1

；
若存在對(duì)稱軸，則對(duì)稱軸應(yīng)為x=

3 2 + 3 a-1

2

；
而令y=1+a解得，x=0或x=

3	a+1

；
則

3	a+1

=

3	2

+

3	a-1

；
即

3	a+1

-

3	a-1

=

3	2

；
∵a＞3；
∴

3	a+1

-

3	a-1

＜

3	2

；
故不成立；
當(dāng)1-a＞-2；即a＜3時(shí)，
由y=

1+a-2x3，x＜ 3 a-1 3-a， 3 a-1 ≤x≤ 3 2 2x3-1-a，x＞ 3 2

；
若存在對(duì)稱軸，則對(duì)稱軸應(yīng)為x=

3 2 + 3 a-1

2

；
而令y=1+a解得，x=0或x=

3	a+1

；
則

3	a+1

=

3	2

+

3	a-1

；
即

3	a+1

-

3	a-1

=

3	2

；
∵a＜3；
∴當(dāng)a=1或a=-1時(shí)，等號(hào)成立；
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=1時(shí)，y=f（g（x））=|x³-2|+|x³|不對(duì)稱，
當(dāng)a=-1時(shí)，y=f（g（x））=|x³-2|+|x³+2|對(duì)稱；


故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖象的對(duì)稱性的應(yīng)用，考查了學(xué)生分類討論的應(yīng)用及作圖能力，屬于中檔題．