Question

【題目】（1）若整數(shù)滿足關(guān)系式，證明：．

（2）試寫出不定方程的一組正整數(shù)解，并對此解驗證．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）因為，所以，只需證，且．

先證：．

注意到，不被3整除的整數(shù)的平方被3除余1，被3整除的整數(shù)的平方仍被3整除．從而，被3除余2的整數(shù)一定不是平方數(shù)．

如果都不被3整除，則被3除余2．

考慮．若，則被3除余1；若被3除余1，則被3整除．此時不能成立．

如果都為3的倍數(shù)，顯然，為9的倍數(shù)，更有．

如果只有一個為3的倍數(shù)，則被3除余1．

因此，．所以，．

再證：．

由為偶數(shù)，知的奇偶性相同．

若同為奇數(shù)，則，即．進(jìn)而，，與是平方數(shù)矛盾．

若同為偶數(shù)，則，即．進(jìn)而，．此時，為奇數(shù)．

因此，．

從而，即．

而同余式當(dāng)且僅當(dāng)同為4的倍數(shù)．因此，．

因為，所以，．

（2）例子：當(dāng)時，．

而，即．