Question

（本小題滿分12分）
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2，且過點(diǎn).
求橢圓的方程；
若點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸，點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，直線交于點(diǎn)

（�。┰O(shè)直線的斜率為直線的斜率為，求證：為定值；
（ⅱ）設(shè)過點(diǎn)垂直于的直線為.求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

（1）見解析 （2）

試題分析：⑴由題意得 ，所以，又，
消去可得，，解得或（舍去），則，
所以橢圓的方程為．
⑵（�。┰O(shè)，，則，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004320644470.png" style="vertical-align:middle;" />三點(diǎn)共線，所以，所以，，8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004320691585.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上，所以，故為定值．10分
（ⅱ）直線的斜率為，直線的斜率為,
則直線的方程為，

==，
所以直線過定點(diǎn)． 
點(diǎn)評：本題考查轉(zhuǎn)化的技巧，（1）將兩斜率之積為定值的問題轉(zhuǎn)化成了兩根之積來求，（2）中將求兩動點(diǎn)的連線過定點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化成了求直線系過定點(diǎn)的問題，轉(zhuǎn)化巧妙，有藝術(shù)性．