Question

已知函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù)．

(1) 求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；

(2) 設(shè)x₁、x₂是關(guān)于x的方程f(x)＝的兩個(gè)相異實(shí)根，若對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]，不等式m²＋tm＋1≥|x₁－x₂|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：(1) f′(x)＝，

因?yàn)閒(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，所以當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，

f′(x)≥0恒成立，

令φ(x)＝x²－ax－2，即x²－ax－2≤0恒成立．

解得－1≤a≤1.

所以A＝{a|－1≤a≤1}．

(2) 由f(x)＝得x²－ax－2＝0.

設(shè)x₁，x₂是方程x²－ax－2＝0的兩個(gè)根，所以x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2.從而|x₁－x₂|＝，因?yàn)閍∈[－1，1]，所以≤3，即|x₁－x₂|_max＝3，

不等式對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]不等式恒成立，

即m²＋tm－2≥0恒成立．

設(shè)g(t)＝m²＋tm－2＝mt＋m²－2，則

解得m≥2或m≤－2.

故m的取值范圍是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．