Question

試求最小的正數(shù)a，使得存在正數(shù)b，當x∈[0，1]時，恒有

1-x

+

1+x

≤2-bxa；對于所求得的a，確定滿足上述不等式的最大正數(shù)b．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：將不等式 進行轉(zhuǎn)換，利用構造函數(shù)法，求出函數(shù)的最值即可得到結論．

解答： 解：原不等式等價為-bxa≥

1-x

+

1+x

-2=

( 1-x + 1+x -2)( 1-x + 1+x +2)

1-x + 1+x +2

=

2 1-x2-2

1-x + 1+x +2

=

-2x2

( 1-x + 1+x +2)( 1-x2+1 )

，
故欲使

1-x

+

1+x

≤2-bxa成立，
則只要

-2x2

( 1-x + 1+x +2)( 1-x2 +1)

≤-bxa，
即bxa≤

-2x2

( 1-x + 1+x +2)( 1-x2 +1)

，
令f（x）=(

1-x

+

1+x

+2)(

1-x2

+1)，x∈[0，1]，
令x=cos2α，α∈（0，

π

4

），
則f（x）=(

2

sinα+

2

cosα+2)(1+sin2α)=[

2

(sinα+cosα)+2](sinα+cos)²，
令t=sinα+cosα，t∈[1，

2

]，
則f（x）=（

2

t+2）t²=

2

t³+2t²在t∈[1，

2

]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f_max=f（

2

）=8，即bx α-2≤

1

4

，
故a=2，b=

1

4

，
下證a=2，假設存在a＜2，及某個正數(shù)b，使

1-x

+

1+x

-2=

-2x2

f(x)

≤-bxa，
則xa-2≥

b

2

•f(x)，
令x=0，
則0≥4b，矛盾，故a=2．
再證b=

1

4

，由

1-x

+

1+x

-2≤-bx2，x∈[0，1]，
即b≤

2

f(x)

，
∴b≤（

2

f(x)

）_min=

1

4

點評：本題主要考查不等式恒成立，綜合性較強，難度較大，考查學生的運算和推理能力．