Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，過其右焦點F與長軸垂直的弦長為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左，右頂點分別為A，B，點P是直線x=1上的動點，直線PA與橢圓的另一交點為M，直線PB與橢圓的另一交點為N，求證：直線MN經(jīng)過一定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出e=

c

a

=

3

2

，

2b2

a

=1，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設P（1，t），由已知條件分別求出M，N的坐標，設定點為Q，再由k_MQ=k_NQ，能證明直線MN經(jīng)過一定點Q（4，0）．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，
∴e=

c

a

=

3

2

，
∵過其右焦點F與長軸垂直的弦長為1，
∴

2b2

a

=1，…（2分）
解得a²=4，b²=1，
∴∴橢圓的方程

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）證明：∵橢圓C的左，右頂點分別為A，B，點P是直線x=1上的動點，
∴A（-2，0），B（2，0），設P（1，t），
則kPA=

t-0

1+2

=

t

3

，直線lPA：y=

t

3

(x+2)，
聯(lián)立得：

y= t 3 (x+2) x 2 4 +y2=1.

整理，得（4t²+9）x²+16t²x+16t²-36=0，
∴-2xM=

16t2-36

4t2+9

，xM=

18-8t2

4t2+9

，
則

xM= 18-8t2 4t2+9 yM= 12t 4t2+9 .

…（6分）
同理得到

xN= 8t2-2 4t2+1 yN= 4t 4t2+1 .

…（8分）
由橢圓的對稱性可知這樣的定點在x軸，
不妨設這個定點為Q（m，0），…10分
又kMQ=

12t 4t2+9

18-8t2 4t2+9 -m

，kNQ=

4t 4t2+1

8t2-2 4t2+1 -m

，
∵k_MQ=k_NQ，∴（8m-32）t²-6m+24=0，m=4．
∴直線MN經(jīng)過一定點Q（4，0）．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線一定過定點的證明，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．