Question

解含參數(shù)a的一元二次不等式：（a-2）x²+（2a-1）x+6＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：通過對(duì)分類討論，利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：∵a≠2，當(dāng)△=（2a-1）²-24（a-2）=（2a-7）²≥0．
不等式（a-2）x²+（2a-1）x+6＞0化為[（a-2）x+3]（x+2）＞0．
即(a-2)(x-

3

2-a

)(x+2)＞0．（*）
當(dāng)a＞

7

2

時(shí)，

3

2-a

＞-2，a-2＞0，上述（*）不等式的解集為{x|x＞

3

2-a

或x＜-2}；
當(dāng)a=

7

2

時(shí)，上述（*）不等式化為（x+2）²＞0，因此不等式的解集為{x|x≠-2}；
當(dāng)2＜a＜

7

2

時(shí)，

3

2-a

＜-2，a-2＞0，上述（*）不等式的解集為{x|x＞-2或x＜

3

2-a

}；
當(dāng)a＜2時(shí)，

3

2-a

＞-2，a-2＜0，上述（*）不等式化為(x-

3

2-a

)(x+2)＜0，解得-2＜x＜

3

2-a

，因此不等式的解集為{x|-2＜x＜

3

2-a

}．
綜上可知：①當(dāng)a-2=0時(shí)，不等式的解集為{x|x＞-2}；
②當(dāng)a≠2時(shí)，△≥0．
當(dāng)a＞

7

2

時(shí)，不等式的解集為{x|x＞

3

2-a

或x＜-2}；
當(dāng)a=

7

2

時(shí)，不等式的解集為{x|x≠-2}；
當(dāng)2＜a＜

7

2

時(shí)，不等式的解集為{x|x＞-2或x＜

3

2-a

}；
當(dāng)a＜2時(shí)，不等式的解集為{x|-2＜x＜

3

2-a

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論的思想方法和計(jì)算能力，屬于難題．