如圖菱形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2CD=4,∠ABE=60°,∠BAD=∠CDA=90°,點(diǎn)H、G分別是線段EF、BC的中點(diǎn).
(1)求證:平面AHC⊥平面BCE;
(2)點(diǎn)M在直線EF上,且MG∥平面AFD,求平面ACH與平面ACM所成銳角的余弦值.
考點(diǎn):與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定
專(zhuān)題:空間角
分析:(1)由已知條件推導(dǎo)出AH⊥AB,AH⊥BC,AC⊥BC,從而得到BC⊥面AHC,由此能證明面AHC⊥面BCE.
(2)分別以AD、AB、AH所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面ACH與平面ACM所成銳角的余弦值.
解答: (1)證明:在菱形ABEF中,
∵∠ABE=60°,∴△AEF是等邊三角形,
又∵H是線段EF的中點(diǎn),∴AH⊥EF,AH⊥AB,
∵面ABEF⊥面ABCD,且面ABEF∩面ABCD=AB,
∴AH⊥面ABCD,∴AH⊥BC,
在直角梯形中,AB=2AD=2CD=4,∠BAD=∠CDA=90°,
∴AC=BC=2
2
,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,
又∵AH∩AC=A,∴BC⊥面AHC,又BC?面BCE,
∴平面AHC⊥平面BCE.….(6分)
(2)解:分別以AD、AB、AH所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則有A(0,0,0),B(0,4,0),C(2,2,0),D(2,0,0),E(0,2,2
3
),
F(0,-2,2
3
),H(0,0,2
3
),G(1,3,0),M(0,m,2
3
),
設(shè)點(diǎn)M(0,m,2
3
),則存在實(shí)數(shù)λ,μ,使得
GM
=λ
AD
AF
,
代入解得M(0,1,2
3
),
由(1)知平面AHC的法向量是
BC
=(2,-2,0),
設(shè)平面ACM的法向量是
n
=(x,y,z),
AC
=(2,2,0),
AM
=(0,1,2
3
)

2x+2y=0
y+2
3
z=0
,取z=
3
,得
n
=(6,-6,
3
),
∴cos<
BC
n
>=
24
2
2
•5
3
=
2
6
5
,
即平面ACH與平面ACM所成銳角的余弦值為
2
6
5
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查平面與平面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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3
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1
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已知a
1
2
+a-
1
2
=x
1
2
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x-2+
2-4x 
 
x-2 -
2-4x 
的值.

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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0),離心率為
2
2
.設(shè)P是橢圓C長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P且斜率為1的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).
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