Question

5．一個不透明的盒子中關(guān)有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三種昆蟲共11只，現(xiàn)在盒子上開一小孔，每次只能一只昆蟲飛出（假設(shè)任意一只昆蟲等可能地飛出）已知若有2只昆蟲先后任意飛出，飛出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是$\frac{21}{55}$
（1）求盒子中蜜蜂的數(shù)量
（2）從盒子中先后任意飛出3只昆蟲，記飛出蜜蜂的只數(shù)為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)有蜜蜂x只，則其他昆蟲為11-x，然后利用古典概型概率計算公式列式求得x；
（2）寫出X的取值，利用古典概型概率計算公式求出相應(yīng)的概率，列出分布列，由期望公式求得期望．

解答 解：（1）設(shè)有蜜蜂x只，則其他昆蟲為11-x，
飛出的昆蟲是蝴蝶或蜻蜓的概率：$\frac{{C}_{11-x}^{2}}{{C}_{11}^{2}}=\frac{21}{55}$，
解得：x=4；
（2）X的取值為：0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{C}_{7}^{3}}{{C}_{11}^{3}}=\frac{7}{33}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{7}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{11}^{3}}=\frac{28}{55}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{7}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{11}^{3}}=\frac{14}{55}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{11}^{3}}$=$\frac{4}{165}$．
隨機變量X的分布列：
因此X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{7}{33}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{14}{55}$	$\frac{4}{165}$

∴EX=$0×\frac{7}{33}+1×\frac{28}{55}+2×\frac{14}{55}+3×\frac{4}{165}$=$\frac{12}{11}$．

點評 本題考查了古典概型及其概率計算公式，考查了離散型隨機變量的分布列與期望，屬中檔題．