Question

過(guò)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點(diǎn)A₁在空間作直線(xiàn)l，使l與平面BB₁D₁D和直線(xiàn)BC₁所成的角都等于

π

4

，則這樣的直線(xiàn)l共有（　�。�

• A、1條
• B、2條
• C、3條
• D、4條

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意，根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)角和線(xiàn)面角的定義，頂點(diǎn)A₁在空間作直線(xiàn)l，使l與平面BB₁D₁D所成的角都等于

π

4

的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條，使l與直線(xiàn)BC₁所成的角都等于

π

4

的直線(xiàn)有2條，即得所求．

解答： 解：因?yàn)閹缀误w為正方體，
所以BC₁∥AD₁，
所以l直線(xiàn)BC₁所成的角等于角A₁D₁A=

π

4

，同理角A₁AD₁=

π

4

；
又因?yàn)橹本�(xiàn)A₁C₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥BB₁，
所以A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，
所以角A₁D₁B₁是A₁D₁與平面BB₁D₁D所成的角，為45°，
所以過(guò)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點(diǎn)A₁在空間作直線(xiàn)l，使l與平面BB₁D₁D和直線(xiàn)BC₁所成的角都等于

π

4

，則這樣的直線(xiàn)l是直線(xiàn)A₁D₁共有1條；
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題開(kāi)考查了線(xiàn)線(xiàn)角和線(xiàn)面角的判斷，根據(jù)是將空間角轉(zhuǎn)化為平面角解答，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．