Question

5．已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+2mx（m∈R）
（Ⅰ）當m=0時，求f（x）的值域
（Ⅱ）若f（x）是偶函數(shù)，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將m=0代入f（x），結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域即可；
（Ⅱ）根據(jù)偶函數(shù)的定義計算f（-x）=f（x），由系數(shù)對應相等求出m的值即可．

解答 解：（Ⅰ）m=0時，f（x）=log₄（4^x+1），
顯然4^x+1＞0，故log₄（4^x+1）＞0，
故函數(shù)的值域是（0，+∞）；
（Ⅱ）若f（x）是偶函數(shù)，
則f（-x）=log₄（4^-x+1）-2mx=log₄（4^x+1）-（1+2m）x=log₄（4^x+1）+2mx，
故1+2m=-2m，解得：m=-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性問題，考查指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．