Question

15．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$（a-1）x³+$\frac{1}{2}$ax²-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{5}$在其定義域內有極值點，則a的取值為（-∞，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$）∪（ $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$（a-1）x³+$\frac{1}{2}$ax²-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{5}$有極值，等價于f′（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根，由此能求出a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$（a-1）x³+$\frac{1}{2}$ax²-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{5}$，
∴f′（x）=（a-1）x²+ax-$\frac{1}{4}$，
∵函數(shù)f（x）在其定義域內有極值點，
當a≠1時，f′（x）=（a-1）x²+ax-$\frac{1}{4}$=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=a²-4×（a-1）×（-$\frac{1}{4}$）＞0并且a-1≠0，
解得a＞1或1＞a＞$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或a＜$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，
當a=1時，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{5}$是二次函數(shù)，滿足題意．
∴a的取值范圍為（-∞，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$）∪（ $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）．
故答案為：（-∞，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$）∪（ $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．