Question

5．在邊長為1的正三角形ABC中，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 根據向量數量積的定義求出向量長度和向量夾角進行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$）•$\overrightarrow{AB}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$）•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AB}$
=1+$\frac{1}{2}$×1×1cos120°=1-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，
法2．∵$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，
∴D是BC的中點，
則在正三角形中，AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}$＞=∠BAD=30°，
則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AD}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{4}$
故選：C．

點評 本題主要考查向量數量積的計算，根據向量數量積的定義求出夾角和長度是解決本題的關鍵．