【題目】已知,其中常數(shù).

(1)當時,求函數(shù)的極值;

(2)若函數(shù)有兩個零點,求證: ;

(3)求證: .

選做題:

【答案】(1) 有極小值,沒有極大值.(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】試題分析:先寫出函數(shù)的定義域,(1)由,求出的導(dǎo)數(shù),再求出的單調(diào)性,即可求得極值;(2)先證明:當恒成立時,有成立,,則顯然成立;運用參數(shù)分離,構(gòu)造新函數(shù)通過求導(dǎo)數(shù)及單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)零點存在定理,即可得證;(3討論當當時, 恒成立,可設(shè)設(shè),求出導(dǎo)數(shù),單調(diào)區(qū)間及最大值,運用不等式的性質(zhì),即可得證.

試題解析函數(shù)的定義域為

1)當時, , ,

上單調(diào)遞增,又,

時, ,則上單調(diào)遞減;

時, ,則上單調(diào)遞增,所以有極小值,沒有極大值.

2)先證明:當恒成立時,有成立.

,則顯然成立;

,由,令

,

,由上單調(diào)遞增,

,所以上為負,在上為正,

上遞減,在上遞增

,從而.

因而函數(shù)若有兩個零點,則,所以,

,則

,

上單調(diào)遞增,

,

上單調(diào)遞增

,則

,則

綜上得.

3)由(2)知當時, 恒成立,所以,

,

設(shè),則,

時, ,所以上單調(diào)遞增;

時, ,所以上單調(diào)遞減;

所以的最大值為,即,

因而,

所以,即

點睛:導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行:(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系;(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性求參數(shù);(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決生活中的優(yōu)化問題;(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

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