Question

19．如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，EF分別是AC和BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）證明：AB∥平面DEF；
（2）在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使AP⊥DE？如果存在，求出$\frac{BP}{BC}$的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，得EF∥AB，由此證明AB∥平面DEF；
（Ⅱ）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法找出在線段BC上存在點(diǎn)P，使AP⊥DE．

解答 解：（1）證明：如圖（2），在△ABC中，
∵E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF；
（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖（3）所示； 

則A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），
E（0，$\sqrt{3}$，1），F(xiàn)（1，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{AB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{DE}$=（0，$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{DF}$=（1，$\sqrt{3}$，0）；
設(shè)$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BC}$，則$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=（2-2λ，2$\sqrt{3}$λ，-2），
由AP⊥DE得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{DE}$=0，
∴$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$λ+1×（-2）=0，解得λ=$\frac{1}{3}$，
∴在線段BC上存在點(diǎn)P，使AP⊥DE，且$\frac{BP}{BC}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與平面平行的證明與滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷問題，階梯式要注意向量法的合理運(yùn)用．