Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx+（x-a）²（a∈R）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{9}{4}$）．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)函數(shù)得到不等式恒成立，然后求解a的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上存在單調(diào)增區(qū)間，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上存在子區(qū)間使得不等式f′（x）＞0成立．
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2（x-a）]=$\frac{{2x}^{2}-2ax+1}{x}$，
設(shè)h（x）=2x²-2ax+1，則h（2）＞0或h（$\frac{1}{2}$）＞0，
即8-4a+1＞0或$\frac{1}{2}$-a+1＞0，
得a＜$\frac{9}{4}$
故答案為：（-∞，$\frac{9}{4}$）．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)恒成立，考查轉(zhuǎn)化思想，不等式的解法，考查計算能力．