Question

13．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2$\sqrt{3}$，以頂點A為球心，4為半徑作一個球，則圖中球面與正方體的表面相交所得的兩段弧長之和等于（　�。�

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． π
• D． $\frac{7π}{6}$

Answer 1

分析 球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；另一類在不過頂點A的三個面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．由空間幾何知識能求出這兩段弧的長度之和．

解答 解：如圖，球面與正方體的六個面都相交，
所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；
另一類在不過頂點A的三個面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．
在面AA₁B₁B上，交線為弧EF且在過球心A的大圓上，因為AE=4，AA₁=2$\sqrt{3}$，
則∠A₁AE=$\frac{π}{6}$．同理∠BAF=$\frac{π}{6}$，所以∠EAF=$\frac{π}{6}$，
故弧EF的長為：4×$\frac{π}{6}$=$\frac{2π}{3}$，
而這樣的弧共有三條．
在面BB₁C₁C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，
此時，小圓的圓心為B，半徑為2，∠FBG=$\frac{π}{2}$，
所以弧FG的長為：1×$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{2}$．
于是，所得的曲線長為：$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{2}$=$\frac{7π}{6}$．
故選：D．

點評 本題考查空間幾何的性質和綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．