Question

3．已知函數(shù)f（x）=2^x+2^-x，
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)；
（3）若f（x）=5•2^-x+3，求x的值．

Answer 1

分析 （1）先求f（x）的定義域，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系即可；
（2）先設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）任意的兩個(gè)數(shù)且x₁＜x₂，從而作差化簡(jiǎn)$f（{x_1}）-f（{x_2}）={2^{x_1}}+{2^{-{x_1}}}-{2^{x_2}}-{2^{-{x_2}}}$=$（{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}）（{1-\frac{1}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}}）$，從而判號(hào)即可；
（3）由題意可知，2^x+2^-x=5•2^-x+3，利用換元法令2^x=t，（t＞0），從而得到$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{t}+3$，從而解出t，再求x．

解答 解：（1）f（x）=2^x+2^-x的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
又f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)．
（2）證明：設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）任意的兩個(gè)數(shù)且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）={2^{x_1}}+{2^{-{x_1}}}-{2^{x_2}}-{2^{-{x_2}}}$
=${2^{x_1}}-{2^{x_2}}+\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}$
=$（{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}）（{1-\frac{1}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}}）$，
∵0＜x₁＜x₂，y=2^x是增函數(shù)，
∴${2^{x_2}}＞{2^{x_1}}＞1$；
∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0，1-\frac{1}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}＞0$；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（3）由題意可知，2^x+2^-x=5•2^-x+3
令2^x=t，（t＞0），則$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{t}+3$．
解得t=-1（舍去）或者t=4．
即2^x=4，
∴x=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷及方程的求解，屬于中檔題．