Question

8．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系的長(zhǎng)度單位相同，圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²+2x-2y=0，射線OM的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{3π}{4}$．
（1）求射線OM的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知射線OM與圓C的交于兩點(diǎn)，求相交線段的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系是x=ρcosθ，y=ρsinθ，從而tanθ=$\frac{y}{x}$，由此能求出射線OM的直角坐標(biāo)方程．
（2）圓C的直角坐標(biāo)方程與射線OM的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立方程組，求出射線與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)，由此能求出相交線段的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵射線OM的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{3π}{4}$，
極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系是x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴tanθ=$\frac{y}{x}$，即$\frac{y}{x}=tan\frac{3π}{4}$=-1，．
∴θ=$\frac{3π}{4}$表示的是射線y=-x（x≤0），
故射線OM的直角坐標(biāo)方程為y=-x（x≤0）．
（2）圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²+2x-2y=0，圓心C（-1，1），
半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+8}$=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x（x≤0）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-2y=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴射線OM與圓C的交于兩點(diǎn)（0，0），（-2，2），
∴相交線段的長(zhǎng)為：$\sqrt{（-2-0）^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查射線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查弦長(zhǎng)的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推量論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．