分析:(1)先求出b的值,要保證原函數(shù)在定義內(nèi)單調(diào),需保證其導函數(shù)在定義域上不變號,分類討論,從而求得參數(shù)的范圍;
(2)函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線斜率為0,求出a的值,令
h(x)=g(x)-x=+ln(x-1)-x,利用導數(shù)研究h(x)的最小值小于等于-1即可.
解答:
解:(1)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),
因為f(1)=0所以有a=b所以
f(x)=ax--2lnx,
f/(x)=a+-=,
當a=0時,
f/(x)=-<0恒成立,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
當a≠0時,若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,則有f′(x)≥0恒成立即
a≥=,
因為x>0所以a≥1且a=1時f′(x)不恒為0.
若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減,則有f′(x)≤0恒成立即
a≤,
因為x>0所以a≤0,
綜上,函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)時a的取值范圍是a≤0或a≥1;
(2)因為函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線斜率為0,所以f′(1)=0,
即2a-2=0所以a=1,
所以
f(x)=x--2lnx,
g(x)=+ln(x-1),
令
h(x)=g(x)-x=+ln(x-1)-x,所以
h/(x)=n+-1,
當n是偶數(shù)時
n<0,0<<1,
所以h′(x)<0即函數(shù)h(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,
所以h(x)≤h(2)=-1,即g(x)≤x-1,
當n是奇數(shù)時,令T(x)=ln(x-1)-x則
T/(x)=-1≤0所以函數(shù)T(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,所以T(x)≤T(2)=-2,
又因為x≥2時1-x<0所以
<0,
所以h′(x)<0即函數(shù)h(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,
所以h(x)≤h(2)=-1,即g(x)≤x-1,
綜上,對任意的正整數(shù)n,當x≥2時,有g(x)≤x-1.