下列不等式
①已知a＞0，b＞0，則(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4；
②a2+b2+3＞2a+2b；
③已知m＞0，則
b
a
＜
b+m
a+m
；
④
a-1
+
a+1
＜2
a
(a＞1)．
其中恒成立的是
①②④
①②④
．（把所有成立不等式的序號(hào)都填上）
分析：逐個(gè)判斷：選項(xiàng)①由基本不等式可證；選項(xiàng)②可通過(guò)作差然后配方來(lái)證明；選項(xiàng)③可舉反例說(shuō)明不對(duì)；選項(xiàng)④可通過(guò)平方作差法證明．
解答：解：選項(xiàng)①∵a＞0，b＞0，∴(a+b)(
1
a
+
1
b
)=2+
b
a
+
a
b
≥2+2
b
a
•
a
b
=4，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，故(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4成立；
選項(xiàng)②，∵a2+b2+3-（2a+2b）=a2-2a+1+b2-2b+1+1=（a-1）2+（b-1）2+1≥1
∴a2+b2+3＞2a+2b恒成立；
選項(xiàng)③，∵
b
a
-
b+m
a+m
=
b(a+m)-a(b+m)
a(a+m)
=
m(b-a)
a(a+m)
，∴當(dāng)a=b時(shí)，式子為0，
故
b
a
＜
b+m
a+m
不一定成立；
選項(xiàng)④，∵a＞1，∴（
a-1
+
a+1
）2-（2
a
）2=a-1+a+1+2
a2-1
-4a=2（
a2-1
-a）
而
a2-1
-a＜0，因?yàn)閍2-1-a2=-1＜0，故
a-1
+
a+1
＜2
a
成立．
故答案為：①②④
點(diǎn)評(píng)：本題為不等式的證明，涉及基本不等式和作差法比較大小，屬基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x
x2+1
．
（1）求出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈(-
3
4
，+∞)時(shí)，證明函數(shù)y=f（x）圖象在點(diǎn)(
1
3
，
3
10
)處切線的下方；
（3）利用（2）的結(jié)論證明下列不等式：“已知a，b，c∈(-
3
4
，+∞)，且a+b+c=1，證明：
a
a2+1
+
b
b2+1
+
c
c2+1
≤
9
10
”；
（4）已知a1，a2，…，an是正數(shù)，且a1+a2+…+an=1，借助（3）的證明猜想
n
k=1
ak
a
2
k
+1
的最大值．（只指出正確結(jié)論，不要求證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：成功之路·突破重點(diǎn)線·數(shù)學(xué)（學(xué)生用書） 題型：013

已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，α、β為方程f(x)＝x的兩根，且0＜α＜β＜，0＜x＜a，給出下列不等式：

①x＜f(x)�、赼＜f(x)　③x＞f(x)�、躠＞f(x)

其中成立的是

[　　]

A．①④
B．②③
C．①②
D．③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：022

有下列命題：

①已知a，b為實(shí)數(shù)，若a2－4b≥0，則x2＋ax＋b≤0有非空實(shí)數(shù)解集．

②當(dāng)2m－1＞0時(shí)，如果＞0，那么m＞－4．

③若a，b是整數(shù)，則關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0有兩整數(shù)根．

④若a、b都不是整數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0無(wú)兩整數(shù)根．

⑤當(dāng)2m－1＞0時(shí)，如果m≤－4，則≤0．

⑥已知a，b為實(shí)數(shù)，若x2＋ax＋b≤0有非空實(shí)數(shù)解，則a2－4b≥0．

⑦若方程x2＋ax＋b＝0沒有兩整數(shù)根，則a不是整數(shù)或b不是整數(shù)．

⑧已知a、b為實(shí)數(shù)，若a2－4b＜0，則關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0的解集為空集．

⑨當(dāng)2m－1＞0時(shí)，如果m＞－4，則＞0．

用序號(hào)表示上述命題間的關(guān)系（例（1）與（9）互為逆否命題）：其中（1）___________是互為逆命題；（2）___________互為否命題；（3）___________互為逆否命題

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：數(shù)學(xué)教研室 題型：022

有下列命題：

①已知a，b為實(shí)數(shù)，若a2－4b≥0，則x2＋ax＋b≤0有非空實(shí)數(shù)解集．

②當(dāng)2m－1＞0時(shí)，如果＞0，那么m＞－4．

③若a，b是整數(shù)，則關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0有兩整數(shù)根．

④若a、b都不是整數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0無(wú)兩整數(shù)根．

⑤當(dāng)2m－1＞0時(shí)，如果m≤－4，則≤0．

⑥已知a，b為實(shí)數(shù)，若x2＋ax＋b≤0有非空實(shí)數(shù)解，則a2－4b≥0．

⑦若方程x2＋ax＋b＝0沒有兩整數(shù)根，則a不是整數(shù)或b不是整數(shù)．

⑧已知a、b為實(shí)數(shù)，若a2－4b＜0，則關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0的解集為空集．

⑨當(dāng)2m－1＞0時(shí)，如果m＞－4，則＞0．

用序號(hào)表示上述命題間的關(guān)系（例（1）與（9）互為逆否命題）：其中（1）___________是互為逆命題；（2）___________互為否命題；（3）___________互為逆否命題

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009-2010學(xué)年江蘇省淮安市清江中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）求出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)y=f（x）圖象在點(diǎn)處切線的下方；
（3）利用（2）的結(jié)論證明下列不等式：“已知，且a+b+c=1，證明：”；
（4）已知a1，a2，…，an是正數(shù)，且a1+a2+…+an=1，借助（3）的證明猜想的最大值．（只指出正確結(jié)論，不要求證明）

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