Question

10．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點M（x₀，4）到焦點F的距離為5．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知點P（0，m），Q（0，-m）（m＞0），過點P作直線與拋物線C交于A，B兩點，試判斷：若$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{PB}$（λ為實數(shù)），是否恒有$\overrightarrow{QP}•$$\overrightarrow{QA}$=$λ\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QB}$成立，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點M（x₀，4）到焦點F的距離為5，根據(jù)拋物線的定義，求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）可設直線AB的方程為y=kx+m，代入拋物線方程x²=4y得x²-4kx-4m=0．設A、B兩點的坐標分別是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），x₁x₂=-4m．由$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{PB}$，得$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=λ，由此可以推出$\overrightarrow{QP}•$$\overrightarrow{QA}$=$λ\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QB}$．

解答 解：（1）∵拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點M（x₀，4）到焦點F的距離為5，
∴4+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=2，
∴拋物線C的方程x²=4y；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{PB}$，得$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=λ，
設$\overrightarrow{QP}•$$\overrightarrow{QA}$=μ$\overrightarrow{QP}$•$\overrightarrow{QB}$成立，則$\overrightarrow{QP}$•（$\overrightarrow{QA}$-μ$\overrightarrow{QB}$）=0
∴2m[y₁-μy₂+（1-μ）m]=0
從而$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-μ•$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+（1-μ）m=0，
設l方程為：y=kx+m，代入拋物線方程，得：x²-4kx-4m=0，
所以x₁•x₂=-4m，
把x₁•x₂=-4m；
代入上式得（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）²-（1-μ）$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-μ=0，
則λ²+（1-μ）λ-μ=0，
所以λ=-1或λ=μ，而顯然λ＞0，
所以λ=μ，
所以恒有$\overrightarrow{QP}•$$\overrightarrow{QA}$=$λ\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QB}$成立．

點評 本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，考查圓的方程，考查向量知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．