20.已知點C(x0,y0)是拋物線y2=4x上的動點,以C為圓心的圓過該拋物線的焦點F,且圓C與直線x=-$\frac{1}{2}$相交于A,B兩點.
(Ⅰ)當(dāng)|FC|=3時,求|AB|;
(Ⅱ)求|FA|•|FB|的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求得拋物線的焦點和準線方程,運用拋物線的定義可得x0=2,再由圓的弦長公式a=2$\sqrt{{r}^{2}-ppzlxxp^{2}}$,計算即可得到所求值;
(Ⅱ)求得圓C的方程,令x=-$\frac{1}{2}$代入圓的方程可得y的二次方程,運用判別式大于0和韋達定理,再由兩點的距離公式,化簡整理,結(jié)合x0≥0,即可得到所求范圍.

解答 解:(Ⅰ)由拋物線y2=4x的焦點為(1,0),準線為x=-1,
由拋物線的定義可得|FC|=x0+1=3,
解得x0=2,
點C到x=-$\frac{1}{2}$的距離d=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$,
圓C的半徑是|FC|=3,
可得|AB|=2$\sqrt{{3}^{2}-(\frac{5}{2})^{2}}$=$\sqrt{11}$;
(Ⅱ)拋物線y2=4x的焦點F(1,0),
圓C的方程是${({x-{x_0}})^2}+{({y-{y_0}})^2}={({{x_0}-1})^2}+{y_0}^2$,
令$x=-\frac{1}{2}$,可得${y^2}-2{y_0}y+3{x_0}-\frac{3}{4}=0$,
$△=4{y_0}^2-12{x_0}+3=4{x_0}+3>0$恒成立,
設(shè)$A({-\frac{1}{2},{y_1}}),B({-\frac{1}{2},{y_2}})$,則y1+y2=2y0,${y_1}•{y_2}=3{x_0}-\frac{3}{4}$,
因為點C(x0,y0)在拋物線y2=4x上,故${y_0}^2=4{x_0}$,
所以$|{FA}|•|{FB}|=\sqrt{{y_1}^2+\frac{9}{4}}•\sqrt{{y_2}^2+\frac{9}{4}}$=$\sqrt{{{({{y_1}{y_2}})}^2}+\frac{9}{4}({{y_1}^2+{y_2}^2})+\frac{81}{16}}$
=$\sqrt{{{({3{x_0}-\frac{3}{4}})}^2}+\frac{9}{4}[{4{y_0}^2-2({3{x_0}-\frac{3}{4}})}]+\frac{81}{16}}$=$\sqrt{9{x_0}^2+18{x_0}+9}=3|{{x_0}+1}|$,
因為x0≥0,所以|FA|•|FB|∈[3,+∞).

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì),直線和圓相交的弦長公式的運用,考查圓方程的運用和兩點的距離公式的運用,考查運算能力,屬于中檔題.

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