Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，F(xiàn)為PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AD=2，求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得AF⊥PB，PA⊥平面ABCD，PA⊥BC，BC⊥AB，由此能證明AF⊥平面PBC．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA=AB=1，F(xiàn)為PB中點(diǎn)，
∴AF⊥PB，
∵底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，BC⊥AB，又BC∩AB=B，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AF，
又BC∩PB=B，∴AF⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，1），F(xiàn)（

1

2

，0，

1

2

），

DF

=（

1

2

，-2，

1

2

），

DC

=（1，0，0），
設(shè)平面DEC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • DF = 1 2 x-2y+ 1 2 z=0 n • DC =x=0

，取z=2，得

n

=（0，1，2），

BF

=(-

1

2

，0，

1

2

)，

BC

=（0，2，0），
設(shè)平面BEC的法向量

m

=(a，b，c)，
則

m • BF =- 1 2 a+ 1 2 c=0 m • BC =2b=0

，取a=1，得

m

=(1，0，1)，
則cos＜

n

，

m

＞=

2

5 × 2

=

10

5

，
∵二面角D-EC-B的平面角是鈍角，
∴二面角D-EC-B的平面角的余弦值為-

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．