Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax+b），曲線y=f（x）的經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處的切線為l：y=4x+2．
（Ⅰ）求常數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）證明：f（x）≥4x+2；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)k，使得當(dāng)x∈[-2，-1]時(shí)，f（x）≥k（4x+2）恒成立？若存在，求常數(shù)k的取值范圍；若不存在，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知條件得

f(0)=b=2 f′(0)=b+a=4

，由此能求出常數(shù)a，b的值．
（Ⅱ）記g（x）=f（x）-（4x+2）=2e^x（x+1）-2（2x+1），則g′（x）=2e^x（x+2）-4，當(dāng)x=0時(shí)，g′（x）=0，設(shè)t（x）=2e^x（x+2）-4，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明f（x）≥4x+2．
（Ⅲ）x∈[-2，-1]時(shí)，f（x）≥k（4x+2）恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)k≥

f(x)

4x+2

=

ex(x+1)

2x+1

，記h（x）=

ex(x+1)

2x+1

，x∈[-2，-1]，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出常數(shù)k的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=e^x（ax+b），
∴f′（x）=e^x（ax+b）+ae^x，
∵曲線y=f（x）的經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處的切線為l：y=4x+2，
∴

f(0)=b=2 f′(0)=b+a=4

，
解得a=b=2．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f（x）=e^x（2x+2），
記g（x）=f（x）-（4x+2）=2e^x（x+1）-2（2x+1），
則g′（x）=2e^x（x+2）-4，
當(dāng)x=0時(shí)，g′（x）=0，設(shè)t（x）=2e^x（x+2）-4，
則t′（x）=2e^x（x+3），
當(dāng)x＞-3時(shí)，t′（x）＞0，g′（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜-3時(shí)，t′（x）＜0，g′（x）單調(diào)遞減，
顯然當(dāng)x＜-2時(shí)，g′（x）＜0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，
當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＜0，∴g（x）≥g（0）=0，
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，
∴f（x）≥4x+2．
（Ⅲ）解：x∈[-2，-1]時(shí)，4x+2＜0，
∴f（x）≥k（4x+2）恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)k≥

f(x)

4x+2

=

ex(x+1)

2x+1

，
記h（x）=

ex(x+1)

2x+1

，x∈[-2，-1]，
h′(x)=

ex(2x2+3x)

(2x+1)2

，
由h′（x）=0，得x=0（舍），x=-

3

2

，
當(dāng)-2≤x＜-

3

2

時(shí)，h′（x）＞0，
∴h（x）=

ex(x+1)

2x+1

在區(qū)間[-2，-1]上的最大值為h（-

3

2

）=

1

4

e-

3

2

，
∴常數(shù)k的取值范圍是[

1

4

e-

2

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查常數(shù)的值的求法，考查不等式的證明，考查常數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要注意構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．