Question

已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，
（1）求f（x）的解析式； 
（2）若x∈[-2，3]，求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)f（x）=kx+b（k≠0），由3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，得3[k（x+1）+b]-2[k（x-1）+b]=2x+17，利用系數(shù)相等，得方程組，解出即可．
（2）先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值問(wèn)題，進(jìn)而得出函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）是一次函數(shù)，
∴可設(shè)f（x）=kx+b（k≠0），
又∵3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，
∴3[k（x+1）+b]-2[k（x-1）+b]=2x+17，
∴kx+5k+b=2x+17，
∴

k=2 5k+b=17

，解得：

k=2 b=7

，
∴f（x）=2x+7；
（2）∵由（1）得k=2＞0
∴f（x）=2x+7在x∈[-2，3]上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值為f（-2）=3，
當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值為f（2）=13，
∴f（x）的值域?yàn)閇3，13]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式問(wèn)題，考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，是一道中檔題．