設(shè)拋物線的焦點為，點，線段的中點在拋物線上．設(shè)動直線與拋物線相切于點，且與拋物線的準線相交于點，以為直徑的圓記為圓．
（1）求的值；
（2）證明：圓與軸必有公共點；
（3）在坐標平面上是否存在定點，使得圓恒過點？若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由．

（1）1   （2）見解析    （3）存在，

解析試題分析：（1）由拋物線方程求出焦點坐標，再由中點坐標公式求得FA的中點，由中點在拋物線上求得p的值；
（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由直線和拋物線相切求得切點坐標，進一步求得Q的坐標（用含k的代數(shù)式表示），求得PQ的中點C的坐標，求出圓心到x軸的距離，求出，由半徑的平方與圓心到x軸的距離的平方差的符號判斷圓C與x軸的位置關(guān)系；
（3）法一、假設(shè)平面內(nèi)存在定點M滿足條件，設(shè)出M的坐標，結(jié)合（2）中求得的P，Q的坐標，求出向量 的坐標，由恒成立求解點M的坐標．
（1）利用拋物線的定義得，故線段的中點的坐標為，代入方程得，解得．
（2）由（1）得拋物線的方程為，從而拋物線的準線方程為
由得方程，
由直線與拋物線相切，得      
且，從而，即，       
由，解得，         
∴的中點的坐標為
圓心到軸距離，
 
∵ 
所圓與軸總有公共點．
（3）假設(shè)平面內(nèi)存在定點滿足條件，由拋物線對稱性知點在軸上，設(shè)點坐標為，
由（2）知，
∴  。
由得，
所以，即或
所以平面上存在定點，使得圓恒過點．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)M、N為拋物線C：y＝x2上的兩個動點，過M、N分別作拋物線C的切線l1、l2，與x軸分別交于A、B兩點，且l1與l2相交于點P，若|AB|＝1．

(1)求點P的軌跡方程；
(2)求證：△MNP的面積為一個定值，并求出這個定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點分別為,，右頂點為A，上頂點為B.已知=.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點，經(jīng)過點的直線與該圓相切與點M，=.求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的焦點在x軸上，左右頂點分別為，上頂點為B，拋物線分別以A,B為焦點，其頂點均為坐標原點O，與相交于直線上一點P.
（1）求橢圓C及拋物線的方程；
（2）若動直線與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同的兩點M,N，已知點，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知兩條拋物線和，過原點的兩條直線和，與分別交于兩點，與分別交于兩點.
（1）證明：
（2）過原點作直線（異于，）與分別交于兩點.記與的面積分別為與,求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知圓的方程為，定直線的方程為．動圓與圓外切，且與直線相切．
（1）求動圓圓心的軌跡的方程；
（2）直線與軌跡相切于第一象限的點, 過點作直線的垂線恰好經(jīng)過點，并交軌跡于異于點的點，求直線的方程及的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的兩焦點分別為，長軸長為6，
⑴求橢圓C的標準方程;
⑵已知過點（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A 、B兩點,求線段AB的長度。.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

過拋物線C：上的點M分別向C的準線和x軸作垂線，兩條垂線及C的準線和x軸圍成邊長為4的正方形，點M在第一象限.
（1）求拋物線C的方程及點M的坐標；
（2）過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與拋物線C交于A，B兩點，且直線AB過點（0，-1），求的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點，且離心率.
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知過點的直線與該橢圓相交于A、B兩點，試問：在直線上是否存在點P，使得是正三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

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