Question

已知等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n，S₃=-3，a₁a₂a₃=8．
（1）求通項(xiàng)公式a_n；
（2）若a₂，a₃，a₁成等比數(shù)列，求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，根據(jù)題意列出方程求出a₁和d，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡；
（2）根據(jù)（1）和條件確定出通項(xiàng)公式a_n，再對|a_n|去絕對值化簡后，再對n進(jìn)行分類，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則

a2=a1+d，a3=a1+2d

，
有

3a1+3d=-3 a1•(a1+d)•(a1+2d)=8

，
解得

a1=2 d=-3 或 a1=-4 d=3

，
所以數(shù)列通項(xiàng)公式

an=2-3(n-1)=-3n+5

或

an=-4+3(n-1)=3n-7

，
則

an=-3n+5

或

an=3n-7

；
（2）當(dāng)

an=-3n+5

時(shí)，a₂，a₃，a₁的值分別為-1，-4，2不能成等比數(shù)列，不滿足條件；
當(dāng)

an=3n-7

時(shí)，a₂，a₃，a₁的值分別為-1，-4，2不能成等比數(shù)列，不滿足條件，
則|

an

|=|

3n-7

|

= -3n+7，n=1，2 3n-7，n≥3

，
當(dāng)n=1時(shí)，

S1=|a1|=4

；
當(dāng)n=2時(shí)，

S2=|a1|+|a2|=4

+1=5；
當(dāng)n≥3時(shí)，

Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|

=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7) =5+ (n-2)[2+(3n-7)] 2

= 3 2 n2- 11 2 n+10

當(dāng)n=2時(shí)，滿足上式，
綜上得，

Sn= 4，n=1 3 2 n2- 11 2 n+10，n＞1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，考查方程思想與分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．