Question

關(guān)于x的不等式(log2x)2+blog2x+c≤0（b，c為實(shí)常數(shù)）的解集為[2，16]，則關(guān)于x的不等式c•2^2x+b•2^x+1≤0的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,一元二次不等式的解法,指、對數(shù)不等式的解法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：令t=log₂x，將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的解集為[1，4]，則1和4為方程的兩個(gè)根，從而運(yùn)用韋達(dá)定理求得b和c的值，代入不等式c•2^2x+b•2^x+1≤0，即可求得2^x的取值范圍，進(jìn)而求得x的取值范圍．

解答： 解：令t=log₂x，由x∈[2，16]，可得t∈[1，4]，
∴不等式(log2x)2+blog2x+c≤0（b，c為實(shí)常數(shù)）的解集為[2，16]，等價(jià)轉(zhuǎn)化為t²+bt+c≤0的解集為[1，4]，
故1和4為方程t²+bt+c=0的兩個(gè)根，
∴

1+4=-b 1×4=c

，解得b=-5，c=4，
∴關(guān)于x的不等式c•2^2x+b•2^x+1≤0即為4•2^2x-5•2^x+1≤0，
∴（2^x-1）（4•2^x-1）≤0，解得

1

4

≤2^x≤1，
∴-2≤x≤0，
∴關(guān)于x的不等式c•2^2x+b•2^x+1≤0的解集為[-2，0]．
故答案為：[-2，0]．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次不等式的解法，要注意與一元二次方程的聯(lián)系，將不等式解集的端點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根，運(yùn)用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
本題解題的關(guān)鍵是運(yùn)用換元法將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，要注意換元以后的取值范圍是易錯(cuò)點(diǎn)．本題求解過程中考查了方程的數(shù)學(xué)思想方法和轉(zhuǎn)化化歸的思想方法．屬于中檔題．