Question

已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為P（2cosθ+5sinθ）-4=0；曲線C₂的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），
求（1）曲線C₁和曲線C₂的普通方程
（2）曲線C₁和曲線C₂的位置關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：直線與圓

分析：（1）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得曲線C₁的普通方程，利用sin²θ+cos²θ=1，即可求得曲線C₂的普通方程
；
（2）根據(jù)（1）可知曲線曲線C₁和曲線C₂分別為直線和圓，利用圓心到直線的距離和半徑比較，即可確定它們之間的關(guān)系．

解答： 解：（1）∵曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ（2cosθ+5sinθ）-4=0，即2ρcosθ+5ρsinθ-4=0，
∴曲線C₁的普通方程為2x+5y-4=0，
∵曲線C₂的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），
∴曲線C₂的普通方程為x²+y²=4，
故曲線C₁和曲線C₂的普通方程分別為2x+5y-4=0，x²+y²=4；
（2）由（1）可知，曲線C₁是方程為2x+5y-4=0的直線，曲線C₂是方程為x²+y²=4的圓，
曲線C₂的圓心是（0，0），半徑是r=2，
故圓心（0，0）到直線2x+5y-4=0的距離d=

|-4|

22+52

=

4

29

＜r=2，
∴直線與圓的位置關(guān)系是相交，
故曲線C₁和曲線C₂的位置關(guān)系是相交．

點(diǎn)評：本題考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程，圓的參數(shù)方程．利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程．對于直線與圓的位置關(guān)系的判定，一種是利用幾何法，一種是利用代數(shù)法．屬于基礎(chǔ)題．