Question

6．已知點(diǎn)P在圓C：x²+y²-8x-6y+21=0上運(yùn)動(dòng)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段OP的中點(diǎn)M的軌跡．

Answer 1

分析 化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式，設(shè)出中點(diǎn)坐標(biāo)，圓上的點(diǎn)P的坐標(biāo)（x₁，y₁），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式把P的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，代入圓的方程得答案．

解答 解：由x²+y²-8x-6y+21=0，得（x-4）²+（y-3）²=4，設(shè)線段OP中點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y），P（x₁，y₁），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：x=$\frac{{x}_{1}}{2}$，y=$\frac{{y}_{1}}{2}$，
則x₁=2x，y₁=2y，
代入圓（x-4）²+（y-3）²=4，
得（2x-4）²+（2y-3）²=4，
即（x-2）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=1．
∴線段OP中點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）應(yīng)滿足的關(guān)系式為（x-2）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=1．
線段OP的中點(diǎn)M的軌跡：（x-2）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求法，訓(xùn)練了代入法求曲線的軌跡方程，是中檔題．