Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD相交于點O，四邊形ACFE為梯形，EF//AC，點E在平面ABCD上的射影為OA的中點，AE與平面ABCD所成角為45°.

（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACF；

（Ⅱ）求平面DEF與平面ABCD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取AO中點H，連結EH，則EH⊥BD，又AC⊥BD，由此可證；

（Ⅱ）以H為原點，HA為x軸，在平面ABCD中過H作AC的垂線為y軸，HE為z軸，建立空間直角坐標系，由（Ⅰ）知，∠EAH為AE與平面ABCD所成的角，再根據平面的法向量的夾角即可求出答案．

（Ⅰ）證：取AO中點H，連結EH，則EH⊥平面ABCD，

∵BD在平面ABCD內，∴EH⊥BD，

又菱形ABCD中，AC⊥BD，且EH∩AC=H，

EH，AC在平面EACF內，

∴BD⊥平面EACF，

∴BD⊥平面ACF；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，

∴以H為原點，HA為x軸，在平面ABCD中過H作AC的垂線為y軸，HE為z軸，建立空間直角坐標系，

∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH為AE與平面ABCD所成的角，即∠EAH=45°，

∵AB=4，∴AO=2，AH，EH，

∴H（0，0，0），A（，0，0），D（，﹣2，0），O（，0，0），E（0，0，），

平面ABCD的法向量（0，0，1），

（﹣2，0，0），（），

∵EFAC，∴（﹣2λ，0，0），

設平面DEF的法向量（x，y，z），

則，取y，得（0，，﹣2），

∴，

∴平面DEF與平面ABCD所成角的正弦值為．