【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=λAA′,點(diǎn)M,N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn).
(1)證明:MN∥平面A′ACC′;
(2)若二面角A′﹣MN﹣C為直二面角,求λ的值.
【答案】
(1)
證明:連接AB′、AC′,
由已知∠BAC=90°,AB=AC,
三棱柱ABC﹣A′B′C′為直三棱柱,
所以M為AB′中點(diǎn),
又因?yàn)镹為B′C′的中點(diǎn),
所以MN∥AC′,
又MN平面A′ACC′,
因此MN∥平面A′ACC′;
法二:取A′B′的中點(diǎn)P,連接MP、NP,
M、N分別為A′B、B′C′的中點(diǎn),
所以MP∥AA′,NP∥A′C′,
所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′,
又MP∩NP=P,因此平面MPN∥平面A′ACC′,
而MN平面MPN,
因此MN∥平面A′ACC′.
(2)
解:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線(xiàn)AB、AC、AA′為x,y,z軸,建立直角坐標(biāo)系,如圖,
設(shè)AA′=1,則AB=AC=λ,于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1).
所以M( ),N( ),
設(shè) =(x1,y1,z1)是平面A′MN的法向量,
由 ,得 ,
可取 ,
設(shè) =(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量,
由 ,得 ,
可取 ,
因?yàn)槎娼茿'﹣MN﹣C為直二面角,
所以 ,
即﹣3+(﹣1)×(﹣1)+λ2=0,
解得λ= .
【解析】(1)法一,連接AB′、AC′,說(shuō)明三棱柱ABC﹣A′B′C′為直三棱柱,推出MN∥AC′,然后證明MN∥平面A′ACC′;
法二,取A′B′的中點(diǎn)P,連接MP、NP,推出MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′,然后通過(guò)平面與平面平行證MN∥平面A′ACC′.(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線(xiàn)AB、AC、AA′為x,y,z軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)AA′=1,推出A,B,C,A′,B′,C′坐標(biāo)求出M,N,設(shè) =(x1 , y1 , z1)是平面A′MN的法向量,通過(guò) ,取 ,設(shè) =(x2 , y2 , z2)是平面MNC的法向量,由 ,取 ,利用二面角A'﹣MN﹣C為直二面角,所以 ,解λ.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用直線(xiàn)與平面平行的判定,掌握平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行,則該直線(xiàn)與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線(xiàn)線(xiàn)平行,則線(xiàn)面平行即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在2007全運(yùn)會(huì)上兩名射擊運(yùn)動(dòng)員甲、乙在比賽中打出如下成績(jī):
甲:9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8;
乙:9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1;
(1)用莖葉圖表示甲,乙兩個(gè)成績(jī);并根據(jù)莖葉圖分析甲、乙兩人成績(jī);
(2)分別計(jì)算兩個(gè)樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差,并根據(jù)計(jì)算結(jié)果估計(jì)哪位運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)比較穩(wěn)定.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求和的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線(xiàn)截直線(xiàn)所得線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地鐵換乘站設(shè)有編號(hào)為,,,,的五個(gè)安全出口.若同時(shí)開(kāi)放其中的兩個(gè)安全出口,疏散1000名乘客所需的時(shí)間如下:
安全出口編號(hào) | , | , | , | , | , |
疏散乘客時(shí)間() | 186 | 125 | 160 | 175 | 145 |
則疏散乘客最快的一個(gè)安全出口的編號(hào)是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正三棱錐P﹣ABC,點(diǎn)P,A,B,C都在半徑為 的球面上,若PA,PB,PC兩兩垂直,則球心到截面ABC的距離為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4﹣4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)xOy中,圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x﹣2)2+y2=4.
(1)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,分別寫(xiě)出圓C1 , C2的極坐標(biāo)方程,并求出圓C1 , C2的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示);
(2)求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)在區(qū)間上有最大值4,最小值0.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè),若在時(shí)恒成立,求的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在三棱柱中,側(cè)棱與底面垂直, ,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).
(1)證明: 平面;
證明: 平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)集合Pn={1,2,…,n},n∈N* . 記f(n)為同時(shí)滿(mǎn)足下列條件的集合A的個(gè)數(shù):
①APn;②若x∈A,則2xA;③若x∈ A,則2x A.
(1)求f(4);
(2)求f(n)的解析式(用n表示).
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