Question

14．如圖，一架飛機(jī)以326km/h的速度，沿北偏東75°的航向從城市A出發(fā)向城市B飛行，18min以后，飛機(jī)由于天氣原因按命令改飛另一個城市C，問收到命令時飛機(jī)應(yīng)該沿什么航向飛行，此時離城市C的距離是多少？

Answer 1

分析 設(shè)飛機(jī)飛到E點時接到命令，連接AC，CE，在△ACD中，根據(jù)余弦定理求出AC，正弦定理求出∠ACD，在△ABC中，根據(jù)余弦定理，求出AB，∠BAC，在△ACE中，根據(jù)余弦定理，求出CE，∠AEC，即可得到所求．

解答 解：設(shè)飛機(jī)飛到E點時接到命令，
連接AC，CE，
∴AE=$\frac{326×18}{60}$=97.8km，
在△ACD中，根據(jù)余弦定理：
AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}-2×AC×CD×cos66°}$
=$\sqrt{5{7}^{2}+11{0}^{2}-2×57×110×cos66°}$
=101.235，
根據(jù)正弦定理得，$\frac{AD}{sin∠ACD}$=$\frac{AC}{sin∠ADC}$，
∴sin∠ACD=$\frac{AD×sin∠ADC}{AC}$=$\frac{57×sin66°}{101.235}$=0.5144，
∴∠ACD=30.96°，
∴∠ACB=133°-30.96°=102.04°，
在△ABC中，根據(jù)余弦定理，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}-2×AC×BC×cos∠ACB}$
=$\sqrt{101.23{5}^{2}+20{4}^{2}-2×101.235×204×cos102.04°}$=245.93，
∴cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2×AB×AC}$=$\frac{245.9{3}^{2}+101.23{5}^{2}-20{4}^{2}}{2×245.93×101.235}$=0.5847，
∴∠BAC=54.21°，
在△ACE中，根據(jù)余弦定理，
CE=$\sqrt{A{C}^{2}+A{E}^{2}-2×AC×AE×cos∠EAC}$
=$\sqrt{101.23{5}^{2}+97．{8}^{2}-2×101.235×97.8×0.5487}$=90.75，
∴cos∠AEC=$\frac{A{E}^{2}+E{C}^{2}-A{C}^{2}}{2×AE×EC}$=$\frac{97．{8}^{2}+90.7{5}^{2}-101.23{5}^{2}}{2×97.8×90.75}$=0.4254，
∴∠AEC=64.82°，
∴180°-∠AEC-（180°-75°）=75°-64.82°=10.18°　
∴飛機(jī)應(yīng)以南偏西10.18°的方向飛行，飛行距離約為90.75km．
答：飛機(jī)應(yīng)以南偏西10.18°的方向飛行，飛行距離約為90.75km．

點評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查正弦、余弦定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用正弦、余弦定理是關(guān)鍵．